Dia 1

Gebalanceerde bomen

Zoekbomen: rotaties

AVL-bomen

Rood-zwart-bomen

Dit onderwerp

•Gebalanceerde bomen:

•AVL-bomen

•Analyse vd hoogte

•Invoegen

•Rood-zwart-bomen

•Analyse vd hoogte,

•Invoegen

•Weglaten

Dit onderwerp

•We zagen:

•Veel operaties op zoekbomen gaan in O(h) met h de hoogte vande zoekboom

•Gebalanceerde bomen: zorg ervoor dat de hoogte vaneen boom O(log n) blijft

•Techniek: rotaties

•Twee soorten gebalanceerde bomen:

•AVL-bomen (niet in boek; we doen alleen invoegingen)

•Rood-zwart-bomen (wel in boek; invoegen en weglaten)

•Van beide:

•Eigenschappen

•bewijs van O(log n) hoogte,

•hoe doe je invoegingen (en weglatingen voor Rood-zwart)?

Zoekbomen recap

•Zoekboom: implementatie van ADT met operaties:

•ZOEK-ELEMENT

•VOORGANGER

•OPVOLGER

•MINIMUM

•MAXIMUM

•INSERT

•DELETE

•En andere operaties, bijv. Dynamic order statistics

•n is steeds het aantal niet-NIL keys in de zoekboom

•Bij een zoekboom kan elk van deze in O(h) tijd, met hde hoogte van de boom

Slechte zoekboom

•Als we niks doen, kan de hoogte groot worden

•Slechtste geval: elke knoop heeft maar 1 kind

•Kunnen we de zoekboom zo implementeren dat dehoogte beperkt blijft??

Zoekbomen met logaritmische hoogte

•Veel vormen van zoekbomen zijn ontworpen zodat

•De hoogte van de boom O(log n) blijft

•Operaties in O(log n) tijd gedaan kunnen worden

•We bekijken er twee:

•AVL-bomen (niet in boek)

•Rood-zwart-bomen (in boek)

•Principes zijn in beide gevallen:

•Rotaties

•Extra informatie in knopen die afdwingen

•Wanneer je roteert

•O(log n) hoogte van boom

•Andere datastructuren

Andere datastructuren

•Er zijn heel wat andere soorten bomen met zelfdeeigenschappen:

•2-3-4-bomen, 2-3-bomen, alpha-beta-bomen, B-bomen

•Ook veel gebruikt: skip-lists. Andere datastructuur metzelfde soort tijdseigenschappen (gelinkte lijst met aantalextra pointers die maken dat je soms stukken slim kanoverslaan (skippen))

•Werkt probabilistisch

Rotatie

•Idee: verander de zoekboom lokaal zodat

•Eigenschappen van zoekboom behouden blijft

•Hij beter in balans komt

Root(T)

AVL-bomen

•Genoemd naar uitvinders: Adel’son-Vel’skii en Landis

•Idee: elke knoop houdt zijn hoogte bij en

•Broers hebben verschillen nooit meer dan 1 in hoogte

Definitie

•Een AVL-boom is een binaire zoekboom met deeigenschap dat voor elke knoop de hoogtes van zijnkinderen hooguit 1 verschillen

•Als een knoop maar 1 kind heeft, dan heeft dat kind hoogte 1(d.w.z., is een blad)

Stellingen

Stelling 1Een AVL-boom met hoogte h heeft minstens 2h/2-1knopen.

Stelling 2Een AVL-boom met n knopen heeft hoogte O(log n).

Stelling 2 volgt direct uit stelling 1

•Stel een AVL boom met n knopen heeft hoogte h.

•Dan geldt dus n  2h/2-1

•Dus log n  log (2h/2-1) = h/2 -1

•Dus h  2* log n +2

•Nu nog het bewijs van Stelling 1

Een AVL-boom met hoogte h heeft minstens 2h/2-1knopen.

•Bewijs met inductie

•Twee basisgevallen:

•h = 1: hoogte 1: alleen wortel: 1 knoop: OK

•h = 2: hoogte 2: wortel heeft een kind: minstens 2 knopen22/2-1 = 20 = 1: OK

•h > 2: Stel de bewering is waar voor alle AVL-bomen met eenhoogte kleiner dan h.Een AVL-boom met hoogte h heeft een wortel met twee kinderen.Minstens 1 van deze kinderen heeft hoogte h-1; het andere kindheeft hoogte h-1 of hoogte h-2.Dus hebben we minstens 1 + 2(h-1)/2-1 + 2(h-2)/2-1 knopen (wortel,boom hoogte h-1, boom hoogte h-2 of h-1)Dus minstens 2h/2-1 knopen

Hoe zorgen we dat een AVL-boom een AVL-boomblijft?

1.Houd de hoogtes bij:

1.Bij elke knoop x hebben we een variabele hoogte(x)

2.Knoop zonder kinderen heeft hoogte(x)=1

3.Knoop x met 1 kind y heeft hoogte(x) = hoogte(y)+1

4.Knoop x met 2 kinderen y en z heefthoogte(x) = max(hoogte(y),hoogte(z))+1

5.Als we de boom veranderen moeten we de hoogtesherberekenen: ALLEEN voor die plekken waar wat verandert enalle voorgangers hiervan

2.Als we een knoop tegenkomen waar de AVL-boomeigenschap niet langer geldt dan gaan we roteren omde eigenschap te herstellen

Links- en rechts-rotatie

Links-rotatie

Rechtsrotatie

Links- en rechts-rotatie

Links-rotatie

Rechtsrotatie

Invoegen van een knoop

•Voeg een knoop in bij een blad (zoals we al eerderzagen)

•Wat kan er gebeuren?

•De hoogte van alle knopen op het pad naar de wortel kantoenemen

•Een of meer knopen op het pad naar de wortel kunnen ‘uit balans’raken

•Stel we voegen x toe

•Loop van x naar boven naar de wortel

•Bereken overal de hoogte

•Wat kan gebeuren is dat het verschil tussen de hoogtelinks en rechts bij een kind 2 wordt (was 1, kan 1toenemen)

•Als dat zo is, gaan we roteren

Stel we voegen 14 toe

Eerst een voorbeeld

14 is toegevoegd

Herbereken hoogte

Herbereken hoogtehoogte wordt 2

15 is in balans

Een stap omhoog

Herbereken hoogte

Opnieuw balanceren

Herbereken hoogtehoogte is 3

16 is NIET in balans

Opnieuw balanceren

16 is NIET in balansWe gaan roteren

Na rotatie(hoogtes tijdelijk fout)

Herbereken hoogtesvoor geroteerde knopen

Een stap omhoog:13 in balans en correcte hoogteKlaar

Een stap omhoog:13 in balans en correcte hoogteKlaar

Basisalgoritme

Invoegen(boom T, key x)

{De volgende twee stappen gaan als gewoon invoegen}

Vind een blad in T waar we x kunnen invoegen

Voeg x op die plek in

{Nu moeten we de AVL-eigenschap herstellen}

y = parent(x);

klaar = false;

while (niet klaar) do

herbereken hoogte van y

if y uit balans then herbalanceer (hoe?)

if hoogte y niet veranderd en y was al in balansthen klaar=true

if y == root(T) then klaar = trueelse y = parent(y)

Uit balans

•Door invoegen van 1 knoop kan de hoogte van eenknoop met hooguit 1 toenemen

•Knoop die uit balans is heeft twee kinderen methoogteverschil 2

yh-1

h-3

zh-3

h-1

Herbalanceren door rotatie: 1e voorbeeldRechts-rotatie

Na rotatie van x en y zijn de knopenin balans geraakt

Omdat de hoogte van de wortel daaldemoeten we hoogtes en balansen van

voorouders hierna doorrekenen

Herbalanceren: enkele (rechts) rotatie

•Roteer zodat het “hoge stuk” omhoog gaat:

yh-1

h-3

Xh-1 ofh-2

yh-1 of h

h-3

h-2 of h-3

Een aantal verschillende gevallen (1)

•We hebben onbalans. De knoop met de grotere hoogtekan links of rechts zitten

•Deze twee gevallen zijn gespiegeld. We behandelen hieralleen het eerste geval:

yh-1

h-3

zh-3

h-1

Een aantal verschillende gevallen:wat zit er onder y?

h-3

yh-1

h-2

yh-1

h-2

h-3

yh-1

h-3

h-2

Geval 1: Een enkele (rechts) rotatie isvoldoende

yh-1

h-3

xh-1

h-3

vh-2

wh-2

… en we zijn klaar

Geval 2: Een enkele (rechts) rotatie herstelt debalans

yh-1

h-3

xh-2

yh-1

h-3

vh-2

wh-3

… de hoogte van de wortel is omlaag gegaan:we moeten hoogtes en balansenopnieuw uitrekenen / herstellenvoor de voorouders

Geval 3: Een dubbele rotatie is nodig

yh-1

h-3

vh-3

wh-2

yh-2

h-3

vh-3

wh-1

h-3 ofh-4

En daarna …

Links-rotatie van y en w

Tweede deel dubbele rotatie

yh-2

h-3

vh-3

wh-1

h-3 ofh-4

xh-2

yh-2

h-3

vh-3

wh-1

h-3 ofh-4

Rechts-rotatievan w en x

… de hoogte van de wortel isomlaag gegaan:we moeten hoogtes en balansenopnieuw uitrekenen / herstellenvoor de voorouders

Geval 3 in 1 stap weergegeven

yh-1

h-3

vh-3

wh-2

h-3 ofh-4

xh-2

yh-2

h-3

vh-3

wh-1

h-3 ofh-4

… de hoogte van de wortel isomlaag gegaan:ook in dit geval moeten wehoogtes en balansenopnieuw uitrekenen / herstellenvoor de voorouders

Opmerkingen

•Er zijn net zo veel gespiegelde gevallen; die gaan dusniet zo (gespiegeld) …

•Tijd: lineair in de hoogte van de boom: O(log n)

•Na afloop is de boom weer een AVL-boom: dus hoogteblijft O(log n)

Schema

•Zoek een blad om de knoop x in te voegen

•Voeg de knoop x toe op de gevonden positie

•y = parent(x)

•Herhaal:

•Reken de hoogte van y uit aan de hand van de hoogtes van dekinderen van y

•Controleer of y in balans is: wat is het verschil van de hoogtesvan de kinderen van y?

•Zonodig: herstel balans bij y met enkele of dubbele rotatie

•Als y de wortel, of hoogte van wortel van boom waar we opwerkten niet is veranderd: klaar (break)

Recap

•Invoegen van een knoop en het daarna herstellen vande AVL-boom eigenschap kan in O(h) tijd

•h = O(log n)

•Operaties op AVL-boom (invoegen, zoeken, minimum,successor, etc.) kunnen in O(log n) tijd

•Weglaten gaat ook (“dubbele rotatie”; doen we hierniet)

•We kijken zometeen naar een andere gebalanceerdeboom: de rood-zwart-bomen. Daar doen we wel deweglatingen

Studiemateriaal

•Deze sheets

•Bijvoorbeeld hoofdstuk 7.4 van Data Structures andAlgorithms in Java (of een andere versie) van Goodrichen Tamassia

Rood-zwart-bomen

•Binaire zoekboom

•Iedere knoop heeft de volgende velden:

•Kleurbit: rood of zwart

•Key

•Left (pointer naar linkerkind)

•Right (pointer naar rechterkind)

•P (Parent) (pointer naar ouder)

•Met een Boolean kunnen we de kleur bijhouden. Weschrijven hier: rood en zwart ipv. bitwaarde voornotatiegemak.

Rood-zwart eigenschappen

•Een binaire zoekboom is een rood-zwart-boom, als devolgende rood-zwart eigenschappen gelden:

1.Elke knoop is rood of zwart

2.De wortel is zwart

3.Bladeren (die NIL zijn) zijn zwart

4.Als een knoop rood is, dan zijn allebei zijn kinderen zwart

5.Voor elke knoop v geldt: elk pad van v naar een bladonder v heeft hetzelfde aantal zwarte knopen

•Idee 1: we doen de operaties op de boom zodat derood-zwart eigenschappen blijven kloppen

•Hierbij gebruiken we rotaties

•Idee 2: als de rood-zwart eigenschappen kloppen danheeft de boom hoogte O(log n)

•Bewijs komt zometeen

NIL

Een voorbeeld van een rood-zwart-boom

NIL

We tekenen de boom zonder de NIL-knopen

Implementatie van NIL-knopen

•Er zijn verschillende implementaties van de NIL-knopenmogelijk:

•Gewoon aparte knoop voor elke NIL-knoop

•Geen object-verwijzing in NIL-knoop (extra test bij bijv.Zoekacties op dit soort verwijzingen)

•Boolean’s

•In het boek wordt het volgende gedaan:

•Alle NIL-knopen worden door een en hetzelfde objectgerepresenteerd

•Die ene NIL-knoop is ook de parent van de root

•Deze knoop heet NIL[T]

•Verschillende implementaties kunnen in de constante, verstopt inde O-notatie, uitmaken

Implementatie boek

Hoogte-analyse van rood-zwartbomen 1

•Definitie: de zwart-hoogte (black-height) van eenknoop x, notatie zh(x) is het aantal zwarte knopen vanx naar een blad. We tellen x zelf niet mee, het blad wel.

•Vanwege eigenschappen van rood-zwartbomen: het hangt niet afwelk blad we bekijken (eigenschap 5)

zh(x)

Een Lemma

Lemma Laat x een knoop zijn. Als x zwarthoogte r heeft, danbevat de deelboom, gevormd door x en al zijn afstammelingentenminste 2r-1 niet-NIL knopen.

Bewijs Met inductie naar de (gewone) hoogte van x.

•Als x hoogte 0 heeft, dan is x een leaf (NIL-knoop); de boomgevormd door x en al zijn afstammelingen bevat alleen x endus 0 niet-NIL knopen, wat precies 20-1 is.

•Stel x heeft hoogte h >0, en het lemma geldt voor alle knopenmet hoogte < h. Dus: het lemma geldt voor de kinderen vanx.Elk kind van x heeft zwarthoogte r-1 of r.De deelboom bevat:

•  2r-1 – 1 niet-NIL knopen in de linkerdeelboom van x;

•  2r-1 – 1 niet-NIL knopen in de rechterdeelboom van x;

•en x zelf (ook niet-NIL).

•Dus minstens 2r-1 -1 + 2r-1 -1 + 1 = 2r-1 niet-NIL knopen.

•QED

r-1

IH: hier 2r -1 ofmeer knopen

IH: hier 2r-1 -1 ofmeer knopen

Voorbeeld van tellen

•Totaal hier minstens 2r -1 + 2r-1 -1 + 1

1 knoop

Zwart-hoogte en hoogte van boom

Lemma De wortel van een rood-zwartboom met n interneknopen heeft zwarthoogte hooguit lg (n+1).

•Want n  2zh(root) -1

Stelling De hoogte van een rood-zwartboom is hooguit2 lg(n+1).

•Bewijs: tenminste de helft van alle knopen op een pad van dewortel naar een blad zijn zwart, want er zijn geen twee rodeknopen na elkaar op zo’n pad. Dus de hoogte is maximaal tweekeer de zwart-hoogte van de wortel.

•QED

•Gevolg: operaties Tree-Search, Minimum, Maximum,Successor, Predecessor kosten O(lg n) tijd als we eenrood-zwart-boom hebben.

Rotaties 1

•Bij INSERTIONs en DELETIONs moeten we zorgen datrood-zwart-eigenschap behouden blijft

•Hoe? Weer met rotaties:

•Links-rotatie en rechts-rotatie

•Kunnen rood-zwart eigenschap verknoeien of herstellen

•Behouden de zoekboom-eigenschappen

•Links-rotatie:

Links- en rechts-rotatie (herhaling)

Eigenschap van rotaties

•Rood-zwart-eigenschappen kunnen veranderen voor degeroteerde knopen en alle knopen op pad vangeroteerde knopen naar wortel

Invoegen van een nieuwe node

•Als we een nieuwe knoop met key z willen invoegen:

•Eerst voegen we z toe, net als in zoekboom

•z is (in eerste instantie) rood

•Daarna doen we een stap RB-INSERT-FIXUP(T,z):

•Herstelt de rood-zwart eigenschap door rotaties

Pseudocode RB-INSERT(T,z)

•Neem aan dat we een knoop-object z hebben met eenkey-waarde key[z].

•Ongeveer net als bij gewonezoekbomen voegen we in,maar

•Gebruik van nil[T]

•Nieuwe knoop krijgt kleur rood

•We roepen RB-INSERT-FIXUPaan

y = nil[T];

x = root[T];

while x  nil[T] do

y = x;

if key[z] < key[x]then x = left[x]else x = right[x]

p[z] = y;

if (y == nil[T])then root[T]= z;

else if key[z] < key[y]

then left[y] = zelse right[y] = z

left[z] = nil[T];

right[z] = nil[T];

color[z] = rood;

RB-INSERT-FIXUP(T,z)

Pseudocode van een“gewone insert”

RB-INSERT(T,z)

•x wordt een blad waar key[z]zou passen; y is de oudervan x

•Zet z op de plek van x en zetalle pointers goed

•Kleur z rood

•Roep RB-INSERT-FIXUP aan

y = nil[T];

x = nil[T];

while x  nil[T] do

y = x;

if key[z] < key[x]then x = left[x]else x = right[x]

p[z] = y;

if (y == nil[T])then root[T]= z;

else if key[z] < key[y]

then left[y] = zelse right[y] = z

left[z] = nil[T];

right[z] = nil[T];

color[z] = rood;

RB-INSERT-FIXUP(T,z)

Hoe doen we de fixup?

•Kijk eens naar de rood-zwart-eigenschappen:

1.Elke knoop is rood of zwart

2.De wortel is zwart

3.Bladeren (die NIL zijn) zijn zwart

4.Als een knoop rood is, dan zijn allebei zijn kinderen zwart

5.Voor elke knoop v geldt: elk pad van v naar een blad onder vheeft hetzelfde aantal zwarte knopen

•Alleen eigenschappen 2 en 4 kunnen wordengeschonden.

•Eigenschap 2 is makkelijk: als de ingevoegde knoop dewortel is, dan is die rood, maar moet zwart zijn. Dus,kleur de wortel zwart. Dat verknoeit niets.

•Eigenschap 4 kan verknoeid worden als we z onder eenrode knoop hangen. We kunnen niet zomaar z danzwart kleuren, want dat zou eigenschap 5 schaden…

Duw het probleem omhoog

•Ons algoritme gebruikt als invariant

•z is rood

•Als p[z] de wortel is, dan is p[z] zwart

•Als de rood-zwart-eigenschappen niet gelden, dan gelden ze opprecies 1 punt niet, nl. bij z, en 1 van de volgende 2 gevallengeldt:

•z is de wortel en z is rood OF

•z is rood en p[z] is rood

•Merk op: deze geldt initieel (met z de ingevoegdeknoop)

•In het begin geldt dit voor de ingevoegde knoop z(onderaan de boom). Door rotaties en herkleuringenschuiven we het probleem omhoog, tot we bij de wortelzijn of er geen probleem meer is…

•Hoe we precies dit doen: gevalsonderscheid!

Geval 0: z is de wortel

•Kleur z zwart

•Klaar!

•Als z niet de wortel is: z is rood, de ouder van z is rood(en dus is vanwege invariant is de ouder van z ook nietde wortel)

Als z niet de wortel is:

•Als z niet de wortel is: z is rood, de ouder van z is rood(en dus is vanwege invariant is de ouder van z ook nietde wortel)

•6 gevallen

p[z]

6 gevallen

•1 en 1b: de oom van z is rood

•2 en 2b: “recht”: z is linkerkind van linkerkind, ofrechterkind van rechterkind, en de oom van z is zwart

•3 en 3b: “zigzag”: z is linkerkind van rechterkind, ofrechterkind van linkerkind, en de oom van z is zwart

Geval 1: p[z] is linkerkind, en right[p[p[z]] is rood

•In geval 1 is p[z] hetlinkerkind van zijn ouder:

•left[p[p[z]] == p[z]

•En is het rechterkind van deouder van de ouder van zrood

•Naamgeving: right[p[p[z]] isde oom van z

Geval 1: p[z] is linkerkind, en right[p[p[z]] is rood

•Kleur ouder en oom van zzwart

•Kleur grootouder van z rood

•z wordt grootouder

•z = p[p[z]]

Check de invarianten!

Geval 1B: p[z] is rechterkind, en left[p[p[z]] is rood

•Net als geval 1, maar gespiegeld

Wat is het geval?

•We krijgen nog deze gevallen:

•Geval 2: p[z] is een linkerkind, de oom van z is zwart,en z is een linkerkind

•Geval 2B: p[z] is een rechterkind, de oom van z iszwart, en z is een rechterkind

•Gespiegeld aan geval 2

•Geval 3: p[z] is een linkerkind, de oom van z is zwart,en z is een rechterkind

•Geval 3b: p[z] is een rechterkind, de oom van z iszwart, en z is een linkerkind

•Gespiegeld aan geval 3

Geval 2: p[z] is een linkerkind, de oom van z iszwart, en z is een linkerkind

•Ziet er zo uit

•Lijkt op geval 1, maar nu

•is de oom van z zwart, en

•we eisen dat z eenlinkerkind is (maakte nietuit bij geval 1)

Geval 2: rotatie en herkleuren

•Doe rechterrotatie en herkleur

… en klaar!

Geval 3: p[z] is een linkerkind, de oom van z iszwart, en z is een rechterkind

•We doen nu een linkerrotatieen komen daarmee in geval2

Linkerrotatie: dit beinvloedt alleen z en zijn ouder.Hierna zijn we in geval 2 beland en lossen we het opals in geval 2!

Recap

•Geval 1 en 1B: kleur de ouder en oom van z zwart, ende grootouder van z rood; z wordt zijn grootouder

•Geval 2: doe een rechterrotatie en kleur de oude oudervan z zwart en de oude grootouder van z rood. Nugelden alle rood-zwart-boom-eigenschappen weer.

•Geval 2B: doe een linkerrotatie en kleur de oude oudervan z zwart en de oude grootouder van z rood. Nugelden alle rood-zwart-boom-eigenschappen weer. (Nietgetoond.)

•Geval 3: doe een linkerrotatie en je komt in geval 2

•Geval 3B: doe een rechterrotatie en je komt in geval 2B(niet getoond)

Pseudocode for RB-INSERT-FIXUP(T,z)

while color[p[z]] == rood do

if (p[z] == left[p[p[z]])then

y = right[p[p[z]]];if (color[y] == rood) {geval 1}

thencolor[p[z]] = zwart;

color[y] = zwart;

color[p[p[z]] = rood;

z = p[p[z]];

elseif (z == right[p[z]]){geval 2}

then z = p[z];

LEFT-ROTATE(T,z);

color[p[z]] = black;{geval 3}

color[p[p[z]] = red;

RIGHT-ROTATE(T,p[p[z]]);

else zelfde code als voor het if-geval met links enrechts verwisseld

Tijd van invoeging

•De hoogte van de boom is en blijft O(log n)

•Eerst gaan we van de wortel naar een blad, en dan weerterug omhoog

•Op elke positie doen we een constant aantal acties

•O(log n) tijd

Opmerking

•Andere soorten zoekbomen met O(log n) tijd voorinsertions werken ook met rotaties, maar hebben eenander mechanisme om te zien waar en wanneer je moetroteren

Weglaten / deletion

•Weglaten lijkt er een beetje op: iets meer gevallen

•Weglaten heeft twee stappen:

1.Verwijderen van de knoop, ongeveer als in “gewone” zoekboom

2.Fixup, die rood-zwart eigenschappen herstelt, met herkleuringenen rotaties

•Bij het weglaten kan gebeuren:

•Een knoop a wordt verplaatst naar een andere plek waar eenknoop b stond die weggelaten werd

•Geef verplaatste knoop a de kleur van de weggelaten knoopb

•Een blad wordt weggelaten

•Een knoop met 1 kind wordt overgeslagen

RB-DELETE(T,z)

Pseudocode: zie boek

We doen eigenlijk hetzelfde als de oorspronkelijke delete,maar

•nil-pointers

•Kleur van knoop die verplaatst wordt

•Na afloop een FIXUP: herstel de rood-zwarteigenschappen

RB-Fixup-Delete

•Herinner van “gewone” delete de gevallen:

•We kunnen een blad weglaten

•Rood of zwart

•We kunnen een knoop met 1 kind “overslaan”

•Rood of zwart

•Bij het verplaatsen: knoop kan nieuwe kleur krijgen:

•Kleur van de knoop die weggelaten was op wiens plek hijkomt

Rode knopen zijn makkelijk

•De rood-zwart-boom eigenschappen blijven geldig alswe een rood blad weggooien of overslaan

1.Elke knoop is rood of zwart

2.De wortel is zwart

3.Bladeren (die NIL zijn) zijn zwart

4.Als een knoop rood is, dan zijn allebei zijn kinderen zwart

5.Voor elke knoop v geldt: elk pad van v naar een blad onder vheeft hetzelfde aantal zwarte knopen

•Dus we hoeven alleen een “fixup” te doen als we eenzwarte knoop overslaan of weglaten

Gevallen

•Weglaten van een zwarte knoop

•Wortel (heeft dan 1 kind)

•Oplossen door nieuwe wortel zwart te maken (als ie ‘t niet alwas)

•Knoop met 1 kind middenin, kind is zwart

•Kan niet gebeuren

•Knoop met 1 kind middenin, kind is rood

•Kleur kind zwart

•Blad

•Oplossen met rotaties

Geval 1

•Geval 1: de wortel heeft 1 kind, en we laten de wortelweg

•Mogelijk probleem: conditie 2: wortel kan rood wortel

•Oplossing: kleur de wortel zwart. Condities gelden nu

Geval 2: Overslaan van zwarte knoop met 1 roodkind

•Als we een zwarte knoop xmet 1 rood kind overslaan,dan doen we:

•Kleur het kind zwart

•Controleer dat we weer eenrood-zwart-boom hebbenaan de eisen

•In feite is het rode kindweggelaten

Geval 2B:Overslaan van zwarte knoop met 1 zwart kind

•Als we een zwarte knoop xmet 1 zwart kind overslaan,dan was de boom geen rood-zwart-boom!

•In het voorbeeld: linksafheeft “8” een groterezwarthoogte dan rechtsaf…

•Dus, dit geval doet zich nietvoor

Geval 3: Weglaten van zwart blad

•Alleen eigenschap 5 isverknoeid: voorouders vanweggelaten knoop x hebbenverschillend aantal zwarteknopen op paden naarbladeren

•Oplossen door omhoog telopen en door rotaties e.e.a.op te lossen

•Preciezer: 1 knoop en al zijnvoorouders hebbeneigenschap 5 niet vervuld

… en links enrechts kunnenanders zitten

Samenvatting probleem

i-1 zwarte knopen

i zwarte knopen

Deze namenblijf ik gebruiken

Als we eenzwart bladhebbenweggelaten

Weer verschillende gevallen gevallen

x is een knoop die te weinig zwart heeft naar beneden,vergeleken met z’n broer

1.De broer van x is rood

2.De broer van x is zwart en heeft twee zwarte kinderen

3.De broer van x is zwart, heeft een zwart kind en eenrood kind, en het rode kind “zit aan de kant van x”

4.De broer van x is zwart, heeft een zwart kind en eenrood kind, en het zwarte kind “zit aan de kant van x”OF:De broer van x is zwart en heeft twee rode kinderen

NB: nil-bladeren tellen hier ook als zwarte kinderen

Geval 1: de broer van x is rood

•Roteer en herkleur omervoor te zorgen dat de broervan x zwart is

•Nu kom je in geval 2-4: debroer van x is zwart

i-1

Getallen: aantal zwarte knopen op bladpaden, inclusief

Geval 2: zwarte broer die twee zwarte kinderenheeft

•Stel x heeft zwarte broer, endie heeft twee zwartekinderen

•Oplossing: kleur de broervan x rood

•Nu heb je het probleem 1omhoog geschoven in deboom

•Het probleem kan zich mogelijknog bij z voordoen (niet altijd)

•Herhaal de analyse met z=x

i-1

Geval 3: broer heeft dichtbij rood kind en ver zwartkind

•Stel x is linkerkind van z,broer y van x is rechterkind

•Stel linkerkind a van y isrood

•Stel rechterkind b van y iszwart

•Nu roteren we y en a enherkleuren

•Zelfde soort geval met linksen rechts gespiegeld

•Je zit nu in geval 4: dewortel van de paarse boom iszwart want hing onder rood

i-1

Geval 4: broer heeft veraf rood kind

•Stel x is linkerkind van z,broer y van x is rechterkind

•Stel rechterkind b van y isrood

•Roteer

•Controleer verder 1 hoger inde boom

•Zelfde soort geval met linksen rechts gespiegeld

i-1

Algemeen

•Door herkleuren en roteren schuif je probleem steeds 1hoger de boom in

•Probleem: knoop met verschillend aantal zwarte knopen op padenvia linkerkind en via rechterkind

•Als we bij de wortel zijn, ben je klaar

•Soms ben je eerder klaar

•O(1) werk per niveau van de boom, dus O(log n) totaal

Stelling

•Operaties: zoeken, invoegen, weglaten, minimum,opvolger, voorganger, kunnen allemaal in O(log n) tijdop rood-zwart-bomen

Conclusies

•Technieken:

•Invariant houden van eigenschappen van de boom

•Gevalsanalyse

•Probleem (tijdelijke overtreding van invariante eigenschappen)duwen naar wortel, of duwen naar blad toe en zo oplossen

•Hoogte boom blijft O(log n)

•Dus operaties gaan in O(hoogte) = O(log n)