Dia 1

Spiegeltje, spiegeltje aan de wand …Wie is de meest symmetrische vanhet land?

Ladies at Science – wiskunde

29 april 2015

slides: https://perswww.kuleuven.be/johan_deprez

Kennismaking en inleiding

•Welkom!

•in deze sessie: eye-opener voor wat er in dewiskunde nog zoal te beleven is buiten wat je uit jewiskundelessen al kent

•ons team

–Karen (masterstudente)

–Stief (onderwijsassistent)

–Aldine (doctoraatsstudente)

–Johan (docent)

Kennismaking en inleiding

•op jullie bank

–dodecaëder (twaalfvlak)

–icosaëder (twintigvlak)

–afgeknotte icosaëder

•Welke ruimtefiguur is de meest symmetrische?

Symmetrie en symmetriegroep

Symmetrieën om ons heen

http://www.odeaanaude.eu/catalogaude2/images/cite108.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/31/Trigonal-3D-balls.png

https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcR1YKAHrqKQXDGbBJEp5Kvg9pyY11lJEnlDJp3a1ZfsOOuPa21NLA

http://www.godunov.com/bucky/buckyball-3.gif

http://images.clipartlogo.com/files/ss/original/945/94518973/three-seamless-black-lace-lines.jpg

http://www.inter-psy.nl/wp-content/uploads/2014/06/voetbal.jpg

http://wetenschap.infonu.nl/artikel-fotos/machans/50120100617-thumb1.jpg

http://cache.graphicslib.viator.com/graphicslib/media/07/architecture-alhambra-palace-photo_1589511-770tall.jpg

http://cdns2.freepik.com/vrije-photo/houten-bouwblokken_21194017.jpg

http://rlv.zcache.nl/het_antiek_ontwerp_van_het_vintage_behangpatroon_fotobeeld-r986c05a22934476abdd37cf431f4464a_x7sai_8byvr_512.jpg

http://www.divineheartshop.com/WebRoot/StoreNL2/Shops/63954272/5188/35D9/D535/9D2D/6ED8/C0A8/29C3/D17A/platonicsolids.png

Wat is een symmetrie?

•Een symmetrie is een handeling. Iets dat je met eenbepaald patroon kunt doen zonder dat het uiterlijkervan verandert.

•Voorbeeld: spiegeling

http://www.amolasmates.es/Imagenes/geogebra.gif

http://mathunited.pragma-ade.nl:41080/data/content-ma/concept/hv/me6/images/highres/Me34U01.jpg

http://www.fahrzeugbilder.de/1024/hier-sieht-man-noch-mal-38261.jpg

Wat is een symmetrie?

•Voorbeeld: rotatie

http://www.kleurrijkewiskunde.nl/plaatjes/woordenboek/d/draaiing/1.gif

http://www.wakeup-yourmind.nl/wosimages/334_272.jpg

http://www.ambcachterveld.nl/uitzet/borden/d/d01.jpg

Wat is een symmetriegroep?

•De verzameling van alle symmetrieën van eenbepaald patroon wordt de symmetriegroep van datpatroon genoemd.

Opdracht

•Teken alle symmetrieën van deregelmatige zeshoek.

•Bepaal het aantal verschillendesymmetrieën.

•Opmerking: het aantal regelmatigezeshoeken op het blad ≠ het aantalverschillende symmetrieën van deregelmatige zeshoek.

•Geheugensteuntje:

Oplossing opdracht

•De symmetriegroep van de regelmatigezeshoek

- 5 mogelijke rotaties (60°, 120°, 180°, 240°, 300°)

- de identieke afbeelding

- spiegelen rond 6 mogelijke spiegelassen

•12 elementen in de symmetriegroep van deregelmatige zeshoek

Symmetrieën als objecten

Samenstellen van symmetrieën en deeigenschappen daarvan

Samenstelling van symmetrieën

Samenstelling van symmetrieën

Samenstelling van symmetrieën

Samenstelling van symmetrieën

Samenstelling van symmetrieën

Samenstelling van twee symmetrieën zit opnieuw in de verzameling: gesloten
Notatie: 𝑠 𝑧2 ° 𝑟= 𝑠 ℎ1
Heel ander voorbeeld uit de wiskunde: optellen van gehele getallen (a+b=c) levert opnieuw geheel getal op

Neutraal element

•Bestaat er ook een neutraal element voor de samenstellingvan symmetrieën?

Neutraal element

•Bestaat er ook een neutraal element voor de samenstellingvan symmetrieën?

Neutraal element

Invers element

Invers element

Invers element

Invers element

Invers element

De symmetrie 𝑟 4 uitvoeren na 𝑟 2 is equivalent met het uitvoeren van de identieke transformatie (= het uitvoeren van 𝑒 )
We noemen 𝑟 4 het invers element van 𝑟 2

Invers element

Invers element

Invers element

Invers element

Invers element

Associativiteit

•Ook de samenstelling van symmetrieën van de zeshoek isassociatief

Groepen

Samenstellen van symmetrieën en optellen van gehele getallen voldoen aan een aantal gemeenschappelijke kenmerken:
Samenstellen van symmetrie is opnieuw een symmetrie (en: optellen van gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op): de verzameling is gesloten
Er bestaat een neutraal element 𝑒 zodat voor alle symmetrieën 𝑠 geldt dat 𝑒 ° 𝑠=𝑠 en 𝑠 ° 𝑒=𝑠 (en: 𝑎+0=𝑎=0+a voor ieder geheel getal 𝑎)
Voor iedere symmetrie bestaat er een inverse symmetrie (en: 𝑎+ −𝑎 =0 voor ieder geheel getal 𝑎)
Het samenstellen van symmetrieën (en: het optellen van gehele getallen) is associatief

.

Groepen

Een wiskundige structuur die voldoet aan:

1.Gesloten

2.Neutraal element

3.Voor ieder element een invers element

4.Associativiteit

…wordt een groep genoemd.

We kunnen ons onderzoek als volgt samenvatten:

De verzameling van symmetrieën van de zeshoek vormteen groep voor de samenstelling, de verzameling vangehele getallen vormt een groep voor de optelling.

Voorbeelden van groepen

•De verzameling symmetrieën van eender welke figuur vormteen groep voor de samenstelling

•De verzameling van reële getallen zonder 0 vormt een groepvoor de vermenigvuldiging

•Ook groepen binnen matrices, complexe getallen,…

Voorbeelden van groepen

Beschouw de verzameling getallen

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

en als bewerking het optellen volgens het kloklezen in deze verzameling

Bijvoorbeeld: “10 + 5 = 3” want 5 uur later dan 10 uur, is het opnieuw 3 uur.

Vormt deze verzameling een groep?

•Gesloten?

•Neutraal element?

•Invers element?

•Associatief?

Voorbeelden van groepen

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Bewerking = optellen volgens kloklezen
Groep?

Ja!

•Gesloten: twee uren bij elkaar optellen geeft opnieuw eenuur op de klok

•Neutraal element = 12 want 8 + 12 = 8 en 12 + 8 = 8 (en ditgeldt voor alle getallen

•Invers element van 1 is 11, invers element van 2 is 10, …,invers element van 6 is 6, en invers element van 12 is 12

•Associatief

Dodecaëder, icosaëder enafgeknotte icosaëder

“Wie is de meest symmetrische van het land?”

Opdracht

•Zoek symmetrieën van het voorwerp dat voor je ligt:

–De dodecaëder (het regelmatig twaalfvlak)

–De icosaëder (het regelmatig twintigvlak)

–Of de afgeknotte icosaëder (de voetbal)

http://lucis.groepweb.nl/homepage/show/1109269.jpg

$G:\Icosaëder.jpg$

$G:\Voetbal.png$

Oplossing

•vijfvoudige rotatie

•drievoudige rotatie

•tweevoudige rotatie

•spiegeling in spiegelvlakken

•combinatie van spiegeling en vijfvoudige rotatie

•combinatie van spiegeling en drievoudige rotatie

•de identieke afbeelding

$G:\Icosaëder.jpg$

$G:\Voetbal.png$

Opdracht

•Bepaal hoeveel symmetrieën het voorwerp heeft

Maak gebruik van wat je al weet:

–vijfvoudige rotatie

–drievoudige rotatie

–tweevoudige rotatie

–spiegeling in spiegelvlakken

–combinatie van spiegeling en rotatie

–de identieke afbeelding

$G:\Icosaëder.jpg$

$G:\Voetbal.png$

Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder& voetbal – deel 1Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder& voetbal – deel 1

•vijfvoudige draaiingsassen

•4 rotaties per as

•6 assen

24 symmetrieën

Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder& voetbal – deel 2Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder& voetbal – deel 2

•drievoudige draaiingsassen

•2 rotaties per as

•10 assen

20 symmetrieën

Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder& voetbal – deel 3Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder& voetbal – deel 3

•tweevoudige draaiingsassen

•1 rotatie per as

•15 assen

15 symmetrieën

Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder& voetbal – deel 4Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder& voetbal – deel 4

•15 spiegelvlakken door overstaande vlakken

15 symmetrieën

Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder& voetbal – deel 5Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder& voetbal – deel 5

•45 combinaties van een spiegeling en een rotatie

45 symmetrieën

Alle symmetrieën vandodecaëder, icosaëder & voetbalAlle symmetrieën vandodecaëder, icosaëder & voetbal

•de identieke afbeelding (1)

•6 vijfvoudige rotatie-assen, 4 rotaties per as (24)

•10 drievoudige draaiingsassen, 2 rotaties per as (20)

•15 tweevoudige draaiingsassen, 1 rotatie per as (15)

•15 spiegelvlakken (15)

•45 combinaties van een spiegeling met rotatie (45)

Totaal: 120 symmetrieën

Opmerkelijk:

de symmetriegroep van de dodecaëder

(regelmatige twaalfvlak)

de symmetriegroep van de icosaëder

(regelmatig twintigvlak)

de symmetriegroep van de voetbal!

$G:\Icosaëder.jpg$

$G:\Voetbal.png$

En verder?

Voortbrengende elementen

sommige symmetrieën zijn afhankelijk van elkaar

•zeshoek

–symmetrisch bij draaiing over 60° impliceert (‘brengt voort’)symmetrie bij rotatie over 120°, 180°, 240° en 300°

–symmetriegroep wordt volledig bepaald door tweevoortbrengende symmetrieën

•rotatie over 60°

•één van de spiegelingen

–d.w.z. alle 12 symmetrieën kun je krijgen door deze draaiingen deze ene spiegeling te combineren

•dodecaëder enz.: volledige symmetriegroep van 120elementen wordt voortgebracht door slechts tweesymmetrieën

Deelgroepen

•gebroken symmetrie

–alleen de rotaties blijven

–symmetriegroep van deze figuur is een deelgroep van

de symmetriegroep van zeshoek

•nog een andere deelgroep (zie rechts)

•Hoeveel deelgroepen heeft de symmetriegroep vande zeshoek?

WISKUNDIGEN HEBBEN EEN HELE THEORIEONTWIKKELD OVER GROEPEN EN GEBRUIKENGROEPEN ALS HULPMIDDEL OM ALLERLEIWISKUNDIGE OBJECTEN TE BESTUDEREN

http://comps.canstockphoto.com/can-stock-photo_csp16259618.jpg

Buckminster fullereen

‘voetbal’ is ook de vorm van molecule
60 koolstof-atomen: 𝐶 60
enkele en dubbele bindingen
dubbele waar 6-hoeken samenkomen
enkel waar 5- en 6-hoek samenkomen
ontdekt laatste kwart 20ste eeuw
eigenschappen voorspeld op basis van symmetrieën

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6f/Buckminsterfullerene-3D-balls.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Football_Pallo_valmiina-cropped.jpg/220px-Football_Pallo_valmiina-cropped.jpg

GROEPEN SPELEN OOK EEN ROL IN VEELANDERE WETENSCHAPPEN

Slot

Slot

•eye-opener voor waar wiskunde aan de universiteitover gaat

–meer dan het berekenen van moeilijkere afgeleiden

–‘rekenen’ met andere objecten dan getallen

–bestuderen van patronen en structuur

•We hopen dat je het leerrijk en interessant vond!

•Bedankt voor je aandacht!